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こんばんは。
会社の同僚との仕事の分担でとても悩んでいます。

その仕事は来客のお茶出しや花の水やり等の日常の細かな雑
務で
私と同僚の二人のうちどちらかが気がついた方が行うという
決まりになっています。
しかし、私も同僚もお互い担当している仕事が少なくいつも
暇な状態のため、二人で共通の仕事の取り合いになっていま
す。
それは一分一秒を競い合う感じです…。

同僚は私より数ヶ月早く入社したこともあり先輩を立てる？
ではないですが私の方が譲ってしまいます。
そうすると私は仕事がなくなり、回りからは同僚の方がセカ
セカとよく動いて頑張っていると
評価されているようです。

私も悩んだ末「いつもやって頂いてしまって申し訳ないので
私が来週やります」や「この仕事は当番制にしましょう」と
提案しても何かに理由をつけていつも話をうやむやにされて
しまいます。
なので会社には女性が私と同僚の二人しかいなく、お昼休み
などもなんとなく険悪な雰囲気です。

このような同僚にうまく仕事を分け合えるようにするにはど
う話し合えば良いでしょうか。
ご経験がある方のアドバイスよろしくお願いします。