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書かれている情報から判断できる範囲内で、一般的な事実に基づきコメントさせていただきます。

＞避妊に失敗した次の日の1月13日から生理が始まりまった
この生理と思われる出血は、もともとの生理予定日付近のものでしたでしょうか？
そうなれば、不正出血などではなく生理の可能性が高いですし、そもそもアフターピルを飲む必要はなかったかもしれません。もしくは低用量ピルで次の排卵を抑制する方法が現実的だったかもしれません。
(もちろん、先生が診察してアフターピルが必要であると判断されたのであればそれで間違いないと思います)

＞いつもは大体生理は5日～6日間ですが、8日間続き、いつも以上に痛い生理痛がありました。
アフターピルの作用かと思います。

＞これは今すぐ妊娠検査をした方が良いでしょうか。
アフターピルは妊娠を100％阻止するものではありません。そのため、然るべきタイミングで妊娠検査薬の使用を指示したり、再度受診を促したりする病院が一般的ですが、なんと言われていますか？

＞ネットでは緊急避妊薬を飲むと生理が10日前後ずれることがあると書いてあった
消退出血のあとの自然な生理は、必ずしも10前後ずれるというわけではありません。生理予定日どおりに来る人もいれば、しばらく生理不順になる人もいます。

最終の性行為が1月12日であれば、妊娠検査薬で正しい結果が出ます。ご不安であればお試しいただくといいかと思います。