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久しぶりの投稿です。よろしくお願いします。

現在ある会社に勤務していますが、
別の会社に登録して、在宅でも仕事をしたいと考えています。
登録する会社はわりと大手なので、とっぱらいという訳にもいかな
いでしょうから、税金の額などから、
今の会社に副業をしていることはすぐに分かってしまうと思うので
すが、
これを会社に知られないようにする方法はあるのでしょうか？

実は、就業規則には、副業禁止と書かれていますので、
禁止されているものを敢えてやるな、と言われるかもしれません
が、
諸々の理由から、できればその副業をやりたいのです。
もちろん、業務に支障は出ないようにしますし、
会社に損害を与えるようなこともないと思っています。

それに、以前同僚が一時期アルバイトをしていて、それについて総
務の人に
「よその会社からお給料もらってる？分かるのよ。
まぁいいんだけどさ。所長には黙っとくわ。」と言われたそうなの
です。
彼女はその時点ではもうそのアルバイトは辞めていたので、
それで話は終わったのですが、
「まぁいいんだけどさ」という真意がよく分かりません。。
（辞めたことは、「まぁいいんだけどさ」の後に言ったそうです）

同僚は、会社にバレない方法はあるらしいと言っているのですが、
詳しい方がいらっしゃったら、教えていただけないでしょうか。